微信小程序试卷代号：1091
国家开放大学（中央广播电视大学）2018年秋季学期“开放本科”期末考试
应用概率统计 试题（半开卷）
2019年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
f 地 -、填空题（每小题3分心分）
1.设每人血清中含有肝炎病毒的概率是0.4%,混合100人血清，此血清中含有肝炎病毒 的概率为 。（提示：O.996loo^O. 67）
2.“正交试验法”就是研究与处理多因素试验的一种科学有效的方法，正交表是一系列规 格化的表格，每个表都有一个记号，它具有 的特点。
3.在对总体参数的假设检验中，若给定显著水平为a ,则犯第一类错误的概率是
4.某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车停站，乘客在任意时刻到达汽车站，则候车时间 的数学期望为 （假设汽车到站时，乘客都能上车）。
5.若f5y）是二维随机变量（X,Y）的密度函数，则X的边缘概率密度函数为 得..分二、判断题（回答对或错，每小题3分，共15分）
6.设A , B为任意两个事件且A U B , P（B） > 0,则必然成立的是P（A） < PCA | B）。
（ ）
7.方差分析就是比较、分析试验结果，鉴别一种或多种因素的变化对试验结果是否有显
著影响的一种有效的数理统计方法。（ ）
8-对一切均值为六，方差为广的总体，不管总体的具体分布形式如何，产和是的矩估计 总是,=又和砖=—、（x,—X）2,且方差的矩估计等于样本方差S’ （ ）
n i=】
9.独立同分布中心极限定理表明：对于独立同分布的随机变量X「X2,…，X”，只要它 们有有限的数学期望和方差，且方差不为零时，则不论它们原来服从何种分布，当兀很大时，其
% X k _ 71 卩
“标准化”的随机变量— 服从其原来的分布。（ ）
10.公式E（XY）=E（X）E（V）和D（X+V）=D（X）+D（Y）成立的充要条件是：在p”
存在的条件下，这两个公式成立的充要条件都是X,y相互独立。（ ）
得分评卷人
三、计算题（每小题10分，共50分）
11.设（X,y）在曲线’=^2,）=2所围成的区域G内服从均匀分布。求联合分布密度 和边缘分布密度。
12.某工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为
0,
工厂规定：岀售的设备若在售岀一年内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备盈利100 元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净盈利的数学期望。
13.10个同样的球，编号为1〜10,从中任取三个，求恰有一个球编号小于5,—个球等于
5,另一个大于5的概率。
14.某公司用机器向瓶子里灌装液体洗净剂，规定每瓶装〃毫升。但实际灌装量总有一 定的波动。假定灌装量的方差a。=i,如果每箱装25瓶这样的洗净剂，试问这25瓶洗净剂的 平均灌装量与标准定值〃相差不超过0. 3毫升的概率是多少？（提示：中（1. 5）=0. 9332）
15.甲罐中装有2个白球，3个黑球，乙罐中装有4个白球，5个黑球，从甲罐中任取一球， 从乙罐中任取一球，求这两个球同色的概率。
得分评卷人 四、证明题（本题20分）
16.设X】，X2，・”，X9的是来自正态总体X〜N （女，/）的简单随机样本，记匕= =（Xi+X2+・”+X6）,y2=^-（xt+x8+x9），s2 V（X, – y2）2, z =^（Y1 ~Yz）,
o 3 2 尚 S
证明统计量Z服从自由度为2的t分布。
试卷代号：1091
国家开放大学（中央广播电视大学）2018年秋季学期“开放本科”期末考试
应用概率统计试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2019年1月
一、填空题（每小题3分，共15分）
1.约为0. 33
2.均衡性（或均衡分散）
3.a
4.2.5分钟
5.j_ f（.x ,了）心
二、 判断题（回答对或错，每小题3分，共15分）
6. 对 7.对 8.错 9.错
三、 计算题（每小题10分，共50分）
11.解：区域 G 的面积 A=J；（z—]2）&=!。
10.错
（1分）
由题设知(X,Y)的联合分布密度为
[6, 0<工 < I,/(財
_/(] ,y)=<
〔0， 其它。
从而 fx &)= j /(x ,j)dy =ej 2dy =6(x —x2) ,0 x < l0
6(x -x2), 0<工<1；
即 f x(H)=<
0, 其它。
/r(3>) =| f(.x ,y~)dx =6j dx =6(5/^ — 丁),0 < V W 1，
（2分）
（2分）
（1分）
（2分）
6（石’一了），
0,
其它。
（2分）
12.解：厂方出售一台设备净盈利Y只取两个值：100元和一200元。
（1分）
r-H» 1
P（Y = 100}=P{X 31}=丄 je-x/4dr =e~
（3分）
P{Y = -2Q0} = P{X < 1} = 1 – e-T
（3分）
E （Y） = 300e_T – 200 = 33. 64（元）。
（3分）
10X9X8
13.解：样本空间：= = 120
（5分）
有利场合:C* – C}・C?=4X5 = 20,所以,@=20/120 = 1/6。
（5分）
14.解：记一箱中25瓶洗净剂灌装量为X「X2，・“，X25,他们均来自均值为〃，方差为1
的总体中的样本。我们需要计算的是事件丨又一以|< 0.3的概率。
（3分）
根据教材定理6. 2.1有
PdX-^I^O. 3}=P（-0. 3^X-/2<0. 3）
（1分）
=P
（1分）
（1分）
（1分）
=2小（1. 5）- 1 =0.8664
（1分）
这就是说,对于装25瓶的一箱而言，平均每瓶罐装量与标准定值不超过0. 3毫升的概率
近似地为0.8664。
如果每箱装50瓶，我们不难算出
P{\X-p |<0.3）=« 0.966 （2 分）
可见，当每箱由25瓶增加到50瓶时，我们能以更大的概率保证厂家和商家都不吃亏。
15.解：［分析］此题的关键在于分析事件Be“两个球同色”的内容，即把较复杂的事件拆 分成一些简单的事件。B发生0“两个球同色”0“同白色”或“同黑色”，再此基础上运用加法 公式与乘法公式就容易求解了。
A】冬“从甲罐中取得白球”，A?。”从乙罐中取得白球由于B=AtA2 U A（A2,且“同 （4分）
因而
P(B)=P(A】A2 U 丄瓦) (3 分)
= P(A1A2) + P(A1A2)
= P(A1)P(A2)4-P(A1)P(A2) =23/45。 (3 分)
四、证明题(本题20分)
16.［分析］由记号匕与S2可看出，它们分别是样本X7,X8,X9的样本均值和样本方差。 (3 — ns2
从而——2 翌。又匕与丫2均为正态变量的线性组合，且相互独立，则匕一丫2也服从
(J
正态分布，标准化后，由t分布的定义，可得结论。
证明：
X,〜N5 / ) , i = 1,2,・”，9,则
X】+Xz +”・+X6 〜N(6/z,6a2) , X7 + X8 + X9 ~ N(3^,3a2) (5 分)
1 XT2 I 2
从而匕=J(X1+X2 + – + X6)〜NS%) , y2=j(X7+X8 + X9)〜N(卩号)
(5分) 又匕与丫2独立，则匕一丫2〜N(0，W)。标准化得 四产〜N(0,l)。 (5分)
o A/2
9 Q2
又r〜好，由于巴与S2独立，匕也与甘独立，则yi -y2与s’独立。根据t分布定 义有
Y.-Y^ ［2S\~ 姪％—3 7 , I”
77^/J亍,2 = —~s— = Z 〜如 (5 分)
注：
9Q2
(1)判断丫2与S2分别是样本x7,x8,x9的均值和方差，由此得出 詩■〜;d是解本题的 关键。
(2)由样本方差S2可构造一个/分布，即W二!津〜X丄
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